离散数学05任务

离散数学05任务

★形成性考核作业★
离散数学作业5
离散数学图论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业．

要求：将此作业用A4纸打印出来，并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分．作业应手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成后上交任课教师（不收电子稿）．

一、填空题
1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15．

2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是
3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则
G
4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G
5．设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于︱V︱，则在G中存在一条汉密尔顿路．

6．若图G=<V,E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W<|S|．

7．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当n为奇数时，Kn中存在欧拉回路．

8．结点数v与边数e满足关系的无向连通图就是树．

9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去条边后使之变成树．

10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

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1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．

答：错误。应叙述为：“如果图G是无向连通图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路。”

2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．

答：错误。因为图中存在奇数度结点，所以不存在欧拉回路。

3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．

G
答：正确。因为有4个结点的度数为奇数，所以不是欧拉图；而对于图中任意点集V中的非空子集1V，都有)(1VGP???V1?。其中)(1VGP?是从图

中删除1V结点及其关联的边。

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4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图． 答：错误。若G是连通平面图，那么若63,3???vev就有，而16>3×7－6，所以不满足定理条件，叙述错误。

5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面． 答：正确。因为连通平面图满足欧拉公式。即：2???rev。由此题条件知6-11+7=2成立。

三、计算题

1．设G=<V，E>，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={(v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5)}，试

(2)写出其邻接矩阵；
(4)画出其补图的图形．

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

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3．已知带权图G如右图所示．

(1)求图G的最小生成树； (2)计算该生成树的权值．

4．设有一组权为2,3,5,7,17,31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．

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四、证明题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．

证明：设a为G
中任意一个奇数度顶点，由G定义，a
仍为G顶点，为区分起见，记为a’,则deg(a)+deg(a’)=n-1,而n为奇数，则a’必为奇数度顶点。由a的任意性，容易得知结论成立。 2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加k条边才能2
使其成为欧拉图．

证明：由定理推论知：在任何图中，度数为奇数的结点必是偶数个，

则k是偶数。又由欧拉图的充要条件是图G
中不含奇数度结点。因此，只要在每对奇7

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数度结点间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图。故
最少要加2k 条边才能使其成为欧拉图。

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