离散型随机变量的均值与方差 教案

离散型随机变量的均值与方差教案

教学目标
（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．

教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．

教学过程
一．问题情境
1．情景：
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1,X2表示，X1,X2的概率分布如下． 如何比较甲、乙两个工人的技术？

二．学生活动
1．直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概 很难得出合理的结论．率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．
这样比较， 2．学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？

三．建构数学

1．定义
在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式x1p1?x2p2?...?xnpn计算样本的平均值，其中pi为取值为xi的频率值．

1
其中，pi?0,i?1,2,...,n,p1?p2?...?pn?1，则称x1p1?x2p2?...?xnpn为随机变量X的均值或X的数学期望，记为E(X)或?．

2．性质
（1）E(c)?c；（2）E(aX?b)?aE(X)?b．（a,b,c为常数）四．数用

1．例题：
例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．

分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取n?5个产品，随机变量X为5个球中的红球的个数，则X服从超几何分布H(5,10,30)．

2584807585503800700425E(X)?0??1??2??3??4??5???1.66672375123751237

512375123751237513
答：X的数学期望约为1.6667．

说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到

rn?rr?CMCNM?M．E(X)???nnCNNr?0n
例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批

产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X的数学期望E(X)．

解：由于批量较大，可以认为随机变量X~B(10,0.05)，

kkP(X?k)?pk?C10p(1?p)10?k,k?0,1,2,...,10

2
故E(X)??kpk?0.5

k?010
即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．说明：例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当X~B(n,p)时，E(X)?np．

例3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场1则比赛宣告结束，假定A,B在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛2
场数的期望．

分析：先由题意求出分布列，然后求期望

解：（1）事件“X?4”表示，A胜4场或B胜4场（即B负4场或A负4场），且两两互斥．

1111240P(X?4)?C4?()4?()0?C4?()0?()4?；222216
（2）事件“X?5”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A负且4场中A负了3场），

且这两者又是互斥的，所以

131314?3111114?14P(X?5)?C4()()?C4()()?22222216（3）类似地，事件“X?6”、“X?7”的概率分别为

131315?3121215?25P(X?

6)?C5()()?C5()()?，22222216

131316?3131316?35P(X?7)?C6()()?C6()()?22222216
故比赛的期望为E(X)?4??5??6??7??5.8125（场）16161616
这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．

2．练习：
据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费3800元；
方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大3
洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；
方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．

试选择适当的标准，对3种方案进行比较．

五．回顾小结：

1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；

3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．六．课外作业：

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