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连续时间系统的时域分析

来源：咤帕游戏

连续时间系统的时域分析

内容摘要

建立系统的数学模型

?输入—输出描述法

?状态变量描述法

????

u c???

i L???

经典法→定初始条件

满足换路定则

??u c?

??i L

起始点有跳变求跳变量

求	双零法	零输入响应：用经典法求解
解		零状态响应：卷积积分法求解
系
统
响
应

卷积积分法：求零状态响应

在系统分析中，一般认为激励

)

是在

时刻加入，这样系统的响应区间就为

[

)

。系统在

)

加入之前瞬间的一组状态

(

)

，

(

)

，...

(

?1 )

(

)

就是系统的

起始状态（即

状态）。加入

)

之后，由于受激励的影响，这组状态从

到

时

刻可能发生变化，

时刻的这组状态

(

)

，

(

)

，...

( n

?1 )

(

)

就是系统的初始条件

（亦称为

状态）。用时域经典法求解微分方程时，需要利用

状态。由

状态求

状

态可用冲激函数匹配法。

卷积积分

(?)

( t

(?)

（1）定义

( t

)

( t

)

（2）卷积代数

①交换律

(( t

)

( t

)

( t

)

( t

)

( t

)

( t

)

( t

)

②分配率

( t

)

( t

)

[

( t

)]

( t

)

③结合律

( t

)]

( t

)

( t

)]

[

( t

)

( t

)

( t

)

[

（3）性质

①微分性质

[

( t

)

( t

)]

[

( t

)]

( t

)

( t

)

[

(

)]

②积分性质

[

(?)

(?)] d??

( t

)

[

d?]

( t

)

[

(?)

d?]

③高阶导数（或多重积分）运算规律

此处，当
设s ( t

i,
)?

j取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数。f 1 ( t ) * f 2 ( t )，则有

df www.taodocs.com

dt *???f 2 (?) d?????f 1 (?) d?*

dt
? f 1 ( t ) * f 2 ( t )

⑤与冲激函数的卷积

( t

t 1

)

?( t

( t

)

*?( t

)

( t

)

t 1

为常数）

)

*?( t

)

( t

)

( t

t 1

（

⑥与阶跃函数的卷积

( t

)

( t

)

( t

)

(?d?

( t

)

t?t 0

(?)

d??

⑦与冲激函数导数的卷积

系统全响应的求解

( t

)

( t

)

( t

)

( t

)

( t

)

*?(

)

( t

)

(

)

( t

*?(

)

( t

)

(

)

( t

系统的时域分析法有两种。一种是微分方程的求解，即采用数学中的经典解法，这种解法是将系统的全响应分成自由响应和强迫响应两部分求解，这种方法的重点在于首先根据微分方程求解出系统的单位冲激响应，然后将冲激响应与激励信号进行卷积积分，从而得到系统的零状态响应。至于零输入响应，其解的形式与自由响应相同，但确定零输入响应中的系

数需利用

状态，而确定自由响应中的系数时则需利用

状态。

各响应分量的关系：

( t

)

n
?A k

?k???

B?( t

)

n
?A zik e a

?k?????

n
?

?k?1?

A zsk

( t

)

强迫响应

自由响应

零输入响应

零状态响应

线性系统的特性

（1）响应的可分解性

当起始状态为零时，系统的零状态响应rzs (t )对外加激励信号e (t )呈现线性。

（3）零输入线性

当外加激励为零时，系统的零输入响应

rzi

)

对于各起始状态呈线性关系。

基本要求

通过本章的学习，学生应深刻理解

和

时刻系统状态的含义，并掌握冲激函数匹配

法；理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法；掌握系统全响应的两种求解方式：自由响应和强迫响应；零输入响应和零状态响应；会分辨全响应中的瞬态响应分量和稳态响应分量；重点掌握卷积积分的定义、代数运算规律和主要性质，并会用卷积积分法求解线性

时不变系统的零状态响应。	例题目录

·例题1：连续时间系统求解（经典法，双零法）
·例题2：求冲激响应（n>m）
·例题3：求冲激响应（n＜m）
·例题4：求系统的零状态响应
·例题5：卷积
·例题6：系统互联

例2-1

描述某

LTI

系统的微分方程为

d
2

t
r

2???3 d

d
r??

t
?2 r d e??

已知r?0???2 , r??0???0 , e???u

并指出零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应。

分析

r (k )?0??：起始状态，它决定零输入响应；

r zs ( k )?0??：跳变量，它决定零状态响应；

)

：初始条件，它决定完全响应；

这三个量之间的关系是

分别利用

(

)

(

)

r zs ( k

)

r zs ( k

)

?，r

(

)

求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。

将e??

??代入原方程有

2δ

6 u

方法一：利用

?????

先来求完全响应，再求零输入响应，零状态响应等于完全响应减

去零输入响应。

方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量

r zs

??,

r zs

来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。
本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。

方法一
1. 完全响应
该完全响应是方程

2δ

6 u

（1）

且满足r

d t 2

2 , r??0

0的解

方程（1）的特征方程为

特征根为

?α

α1

?1，α

方程（1）的齐次解为

r???A 1 e??A 2 e?2 t

d 2 r???3 d?2 r???6 u?? （2）因为方程（1）在t>0 时，可写为

A 1

A 2

下面由冲激函数匹配法定初始条件。
由冲激函数匹配法定初始条件
据方程（1）可设

aδ

b?u

a?u

2δ

6 u

??无跳变

代入方程（1），得

aδ

b?u

3 a?u

匹配方程两端的

，及其各阶导数项，得

所以

??0

把

??0

2 ,

2代入

A 1

A 2

得A 1

0 ,

A 2

，所以系统的完全响应为

e2 t

再求零输入响应

rzi

2.求零输入响应

因为激励为零，零输入d d 2 r t 2 ???3 d dt r???2 r??? 响应 0 rzi

??是方程

（3）

且满足r zi?0???r zi?0???r?0???2，

（3）式的特征根为r zi??0???r zi??0???r??0?

r zi???B 1 e??B 2 e?2 t

由r zi?0???2，r zi??0???0，代入( 4 )式解得

B 1

4 ,

B 2

所以，系统的零输入响应为

下面求零状态响应。

r zi

求零状态响应

零状态响应=完全响应—零输入响应，即

因为特解为3，所以

r zs

（5）

强迫响应是3，自由响应是

6 u

方法二

零状态响应rzs

??是方程

2???

且满足r zs

d t 2

r zs??0

0的解

由于上式等号右边有???项

而r zs??在t?0处是连续的。

，故r?

??应含有冲激函数，从而r?

??将发生跳变，即

以上分析可用下面的数学过程描述

r zs

???

aδ

b?u

??,

r zs

???

a?u

代入（5）式

aδ

b?u

3 a?u

2δ

6 u

根据在t=0 时刻，微分方程两端的

???

及其各阶导数应该平衡相等，得

于是

r zs

t>0 时，方程为

由初始条件 r zs?0???2 , r zs?0???0得
齐次解为

D 1

?4 ,

D 2

所以，系统的零状态响应为

r zs

(

方法一求出系统的零输入响应为

r zi

完全响应=零状态响应+零输入响应，即

( t

例2-2

已知某系统的微分方程为

e??

2 e??

试求其冲激响应

( t

)。

分析
冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。在系统分析中，它起着重要的作用。下面我们用两种方法来求解本例。

方法一：奇异函数项相平衡法
方法二：齐次解法

方法一：奇异函数项相平衡法
首先求方程的特征根，得

2 ,

因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，冲激响应为

对上式求导，得 h???A 1 e??A 2 e?3 t???

d h????A 1?A 2?????2 A 1 e??3 A 2 e?3 t???（1）

d t

d
2 h

t 2????A 1?A 2?????2 A 1 e?2 t?3 A 2 e?3 t???

??4 A 1 e?2 t?9 A 2 e?3 t???

将e???δ??，以及上述三个等式代

?A 1?A 2????3

则得

解得

代入（1）得

?
?
?

A 1

???

A 2

h????

方法二：齐次解法

先求方程

???的解

?
h??，得

解得

h???C 1
?

???

初始条件

得

?
?
?

h???

?C 1?C 2

??2 C 1?

?
C 2??1

?
h '

3 C

即

h???e

???

?
h

时，

所以

d h??

d t

3??2 e?

?7 e?3 t?

?
h

3?e

2?e

??????

???

3 3

e?3 t???

t???

3 t

说明：齐次解法相对于奇异函数项相平衡法和冲激函数匹配法的优点是在求

只可能n>m,无需考虑其他情况；由于n个初始条件是固定不变的，即

其中C0 是微分方程中
h???h ' d??

h
?

??
?
??

d tn

?h ?( n?2 ) ???0 , h ?( n?1 ) ??? 1

项前面的系数，因而给计算带来了方便。C

例2-3

d
d

t
r???2 r???

d
d

t
2

2 e??淘豆网d t
若激励为e??，响应r??的系统的微分方程

解答

将

d
d

t
h???2 h???

d
d

t
2

2????3

d
d

t
????3??? (1)

方法一：奇异函数项相平衡法

方法二：冲激函数匹配法

方法一：奇异函数项相平衡法

由于微分方程的右端比左端还高一阶，故冲激响应设成

h??

A 1e

u??

A 2???

A 3

???

（2）

将（2）式代入（1）式，得

?
?
?

?
?

A 1

A 2

???

A 2

A 3

解得冲激响应

h??

???

δ???

阶跃响应

h??

???

u??

方法二：冲激函数匹配法

???

3???

(1)

微分方程的齐次解为

h??

B 1e?

（2）

下面用冲激函数匹配法求初始条件，设

???

r??

a?????

b????

c???

u??

a????

b???

u??

上述两等式代入方程（1），经整理得

aδ

????

bδ

cδ

u??

aδ

2 bδ

u??

????

3δ

???

3δ

根据在t=0 时刻，微分方程两端的冲激函数及其各阶导数应该平衡相等，解得 ?a?1

于是
?

?
?
b

c?
?

1
1

过程中出现的

δ??及其导数????? ?( m?n )??。

故冲激响应为

h??

t u??

说明：两种方法求得的结果一致。一般说来，第二种方法比第一种方法简单，特别是对高阶

方程。

例2-4

已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，求该系统对激励的

e??

sin

1??

零状态响应。

3 t

9 3

解答

对激励和响应分别微分一次，得

???

?u???u?t?1??

?u?t?2??u?t?

3??

当激励为e

???

???时，

响应为r

???

于是，当激励为e??

??时，

响应为r

即

( t

)

( t

)

( t

1 )

当激励为e

sin

1??时的零状态响应为

??
?u??

1????

1??

?sin

t
sin

??d

1
?t?1

sin

2?1

cos?

???

例2-5

计算卷积

f 1

( t

)

( t

)，并画出波形。

f1??

解答

此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出错误的结果。

其原因在于f1

??在t

时不等于零；

从图形上看，f 1???只在t

1点有一个冲激信号??t

然而，对此微分信号积分并不能恢复原信号

??，即

t
??

t???

?τ

从原理上看，如果

f 1

t
??

f 1

dτ

f 1

则应有

很容易证明，上式成立的充要条件是
f 1????? t d

d
f 1

τ
??dτ

t
lim

???f 1???0显然，所有的时限信号都满足上式。对

于时限信号，可以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。此题若将f1(t)看成两个

信号的叠加，则也可以利用该性质计算：

f 1

u?t

??t

f 1

??t

u?t

1??

??τ

?1?

??t

u?t

??t

???e

?τ

?1?

??τ

u?t

?τ

??1

?τ

t
??1 e

?τ

t?1

??1

?τ

???

(

)

(

)

注意：1?e??t?1??t?1??e??t?1??

t?1?

例2-6

(2)用积分器、加法器和延时器构成子系统 h a??和h b?? 的框图;

h a??hb??

ha??

f??

ha?? ? ? y?? 1 1

(a)

(b)

分析
本例的总系统是几个子系统串、并联组合而成的。对因果系统而言，串联系统的冲激响应等于各串联子系统的冲激响应卷积；并联系统的冲激响应等于各并联子系统的冲激响应相加。

系统的零状态响应，可以用系统的微分方程求解，也可以用系统的冲激响应与激励信号的卷积求解。后一种方法回避了起始点跳变问题，但是，这种方法只限于求零状态响应，不

而当系统的起始状态不为零时，系统的完全响应不满足叠加性、齐次性与时不变性。能求完全响应。其原因在于卷积运算是一种线性运算，它满足叠加性、齐次性与时不变性。

（1）求h(t)

当f

???时，系统的零状态响应为h

复合系统的冲激响应为

h a

?h a

h b

???

其波形如图

h??

(c)

(2)子系统ha??和hb??的框图

由于 ha???u???u?t?1???δ???δ?t?1???u??

ha??框图如图(d)所示

子系统ha??和hb??的关系为

hb???ha?t?1?

? ?? ? T故hb??的框图如图(e)所示